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前の記事では、心の投影の誤謬について述べた。破れた服の女性を、犯そうとして連れ去る異星の怪物を例にしたのだ。私はこの間違いを、描き手が女性の色気を、その女性自身の性質、Woman.sexinessだと考える傾向のせいだとした。実際にはそれは観察者の心にあるもので、異星人の心にはおそらく存在しないのに。
「心の投影の誤謬」という言葉を作ったのは、今は亡き偉大なベイズの達人、E・T・ジェインズである。あの忌まわしい頻度主義者たちとの、長く激しい戦いの中で生まれた言葉だ。ジェインズは、確率は環境ではなく心の中にあると考えていた。確率は無知、つまり部分的な情報しかない状態を表す。ある現象について私が無知なら、それは私の心の状態についての事実であって、現象についての事実ではないのだ。
この昔からの戦いを、数語で正当に扱うことはできない。だが、議論の古典的な例はこうだ。
あなたはコインを持っている。
そのコインには偏りがある。
どちらに、どれほど偏っているかは知らない。誰かが「このコインには偏りがある」と言っただけで、それ以外には何も教えてくれなかった。
あなたの持つ情報はこれですべて、これだけだ。コインを取り出して投げ、手で押さえて伏せる。
さて、手をどけて結果を見る前に、表が出ている確率を0.5と割り当てる、と言えるだろうか？
頻度主義者は言う。「言えない。『確率0.5』とは、コインに表と裏が同じ頻度で出る固有の傾向があり、無限回投げれば表と裏の比が1:1に近づく、という意味だ。だが、このコインには偏りがあるとわかっている。だから、表が出る確率は0.5以外のどんな値でもありうる」
ベイズ主義者は言う。「不確実性は地図の中にあり、領土の中にはない。現実では、コインは表が出たか、裏が出たかのどちらかだ。『確率』について語るなら、それはコイン自体だけではなく、私がコインについて持つ情報、つまり部分的に知らず、部分的に知っている状態を指さなければならない。さらに、部分的な知識をある決まった仕方で扱わなければ愚かな賭けをすることになると示す定理が、いろいろある。計画を立てる必要があるなら、私は五分五分の不確実性のもとで計画する。表を条件とした結果を、裏を条件とした結果より重く、頭の中で扱ったりはしない。その数字を何と呼んでもいいが、愚かなことをしないためには、確率法則に従わなければならない。だから私は、結果への重みづけを確率と呼ぶことに、少しもためらいはない」
私はベイズ主義者の側につく。お気づきだったかもしれないが。
公平なコインを投げる前でさえ、表が出る50%という確率が内在しているという考えは、単に間違っているかもしれない。持ち方や投げる力、周囲の気流によっては、表、あるいは裏が出ることが、ほぼ確実なのかもしれない。だが、今回コインがどちらに偏っているかを知らないなら、それがどうしたというのか？
たしか、徴兵の抽選で、名前を書いた紙が十分に混ぜられていないから不公平だと訴えた人に、裁判官が「誰にとって不公平なのか？」と答えた訴訟があったと思う。
頻度主義者がよく求めるように、コイン投げを反復可能な実験にするには、自動コイン投げ機を作り、表50%、裏50%になることを確かめてもよい。だが、非常に敏感な目と、物理学への優れた理解を持つロボットなら、機械が投げる準備をする様子を見て、結果を先に予測できるかもしれない。確実ではなくても、90%の精度で。では、本当の確率はいくつなのか？
「本当の確率」などない。ロボットには、ある部分的情報の状態がある。あなたには、別の部分的情報の状態がある。コイン自体には心がなく、何にも確率を割り当てない。ただ空へ投げ出され、何回か回転し、空気分子にぶつかり、表か裏になって着地するだけだ。
以上がベイズ的な見方だ。ここで、古典的な頭の体操を二つ紹介したい。確率を物体に内在する性質だと考える傾向が、これらの問題の頭を悩ませる力を生んでいる。
おなじみの例から始めよう。道で女性の数学者に会う。彼女は、別々の機会に二人の子を産んだと、たまたま話す。あなたが「お子さんの少なくとも一人は男の子ですか？」と聞くと、数学者は「はい、そうです」と答える。
二人とも男の子である確率はいくらか？ 子どもが男の子である事前確率を1/2と仮定すれば、与えられた情報のもとで、二人とも男の子である確率は1/3だ。事前確率は、男の子二人が1/4、男の子一人と女の子一人が1/2、女の子二人が1/4だった。数学者が「はい」と答える確率は、最初の二つの場合はほぼ1、三つ目の場合はほぼ0だ。正規化し直すと、男の子二人の確率は1/3、男の子一人と女の子一人の確率は2/3になる。
だが代わりに、「上のお子さんは男の子ですか？」と聞き、彼女が「はい」と答えたとしよう。その場合、二人とも男の子である確率は1/2になる。上の子は男の子で、下の子はどちらでもかまわないからだ。
「下のお子さんは男の子ですか？」と聞いた場合も同じだ。二人とも男の子である確率は、やはり1/2になる。
さて、少なくとも一人が男の子なら、上の子が男の子か、下の子が男の子かの、どちらかであるはずだ。なのに、最初の場合の答えと、後の二つの場合の答えは、どうして違うのだろう？
よく似た別の問題もある。私が、ハートのA、スペードのA、ハートの2、スペードの2の、4枚のカードを持っているとしよう。その中から無作為に2枚引く。あなたが「少なくとも1枚はAですか？」と聞き、私が「はい」と答える。Aを2枚持っている確率はいくらか？ 1/5だ。2枚の組み合わせは六つあり、事前確率は等しい。今の答えで、2を2枚持っている可能性が除かれた。残る五つの組み合わせで、Aのペアになるのは一つだけ。だから1/5だ。
では代わりに、「スペードのAを持っていますか？」と聞いたとしよう。私が「はい」と答えたなら、もう1枚がハートのAである確率は1/3だ。スペードのAを持っているとわかっていて、もう1枚の候補は三つ、そのうちハートのAは一つだけだからだ。同じく、「ハートのAを持っていますか？」と聞かれ、私が「はい」と答えれば、Aのペアを持っている確率は1/3になる。
だが、それなら、「少なくとも1枚はAですか？」と聞いて「はい」と答えられたとき、ペアを持っている確率が1/5になるのは、どうしてか？ 私がスペードのAかハートのAの、どちらかを持っていることはわかっている。そしてどちらの場合でも、Aのペアを持っている確率は1/3なのに。
どうしてそうなるのか？ 私は、どこかで確率を計算し間違えたのだろうか？
自分で考えたいなら、今考えてほしい。これから明かすのは……。
述べた計算は、すべて正しいということだ。
逆説について言えば、そんなものはない。逆説に見えるのは、確率がカード自体の性質でなければならないと考えるからだ。私の持つAは、ハートかスペードのどちらかでなければならない。だが、それは、私のカードについてあなたが知っていることが、ハートのAを持っていると知っている場合や、スペードのAを持っていると知っている場合と、同じでなければならないという意味ではない。
ベイズの定理を考えると、助けになるかもしれない。
| P(H|E) | = | P(E|H)P(H) |
| P(E) |
最後のP(E)で割る部分は、排除された可能性をすべて捨て、残った可能性の間で確率を正規化し直すところだ。
さて、「少なくとも1枚はAですか？」と聞くとしよう。私が答える前に、私が「はい」と言うとあなたが考える確率は、 5/6であるはずだ。
だが「スペードのAを持っていますか？」と聞いたなら、「はい」という返事の事前確率は、1/2にすぎない。
だから、この二つの場合には、まったく違うことを知るのだと、すぐわかる。排除する可能性が異なり、正規化に使うP(E)も異なる。異なる二つの証拠を得たなら、異なる二つの部分的情報の状態に行き着いても、驚くべきではない。
同じように、数学者に「二人のお子さんの少なくとも一人は男の子ですか？」と聞けば、「はい」と返ってくる確率は3/4だと予想する。だが「上のお子さんは男の子ですか？」と聞けば、「はい」の確率は1/2だと予想する。どちらの質問をするかによって、結果として得られる部分的知識の状態が違うのは、驚くことではない。
「逆説」が見える唯一の理由は、Aを2枚持つ確率が、少なくとも1枚のAを含むカードの性質、あるいは、たまたまスペードのAを含むカード自体の性質であるかのように考えることだ。その場合、少なくとも1枚のAを含むカードの組には、ペアになる確率1/5が内在するのに、スペードのAを含む組には1/3、ハートのAを含む組にも1/3が内在するのは、逆説になってしまう。
同様に、二人とも男の子である1/3という確率が、少なくとも一人は男の子である子どもの組の内在的性質だと考えると、上の子が男の子である組には二人とも男の子である確率1/2が内在し、下の子が男の子である組にも1/2が内在する、ということとは整合しない。それは、「緑のリンゴはすべて1ポンドで、赤いリンゴもすべて1ポンドだが、緑か赤のリンゴはすべて半ポンドだ」と言うようなものだ。
確率が、ものについての部分的情報の状態であることを忘れ、ものの中にあるかのように考え始めると、こうなる。
確率は不確実性を表す。そして、不確かな状態にあることができるのは、主体だけだ。白紙の地図は、白紙の領土に対応するわけではない。無知は心の中にある。