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エネルギー保存則としてよく知られる熱力学第一法則は、無からエネルギーを作ることはできないと述べる。燃料その他の資源を消費せずにいつまでも動き続ける第一種永久機関を禁じている。現代の物理観によれば、粒子の個々の相互作用の一つ一つでエネルギーは保存される。数学的帰納法により、粒子の集合がどれほど大きくても、無からエネルギーを生み出すことはできない――少なくとも、現在私たちが物理法則だと考えているものに違反せずにはできないと分かる。
だから米国特許商標庁は、一方のばねがほどけるにつれてもう一方を巻き、それによって計算上は永遠に仕事を続けるという、車輪と歯車の驚くほど巧妙な集合についての提案を即座に却下する。これが起きるには、少なくとも一つの車輪が（私たちの標準模型の）物理法則に違反しなければならないという、完全に一般的な証明がある。ゆえに、一つの車輪がどう物理法則に違反するのかを説明できないかぎり、車輪の集合体にもそれはできない。
同様の議論は、運動量保存則に違反する推進装置、「無反動推進」にも当てはまる。標準物理学では、すべての個々の粒子とその相互作用について運動量が保存される。数学的帰納法により、物理系の大きさにかかわらず運動量は保存される。二つの粒子が衝突し、最初と同じ総運動量を保って離れるところを思い描けるなら、粒子から巨大で複雑な歯車の集合へ規模を拡大しても何も変わらないと分かる。一兆の千兆倍もの原子が関わっていてさえ、0 + 0 + … + 0 = 0である。
しかしエネルギー保存則そのものは、熱を仕事へ変換することを禁じられない。実際、氷と蓄えた電気を温水に変える密閉箱を作れる。それは難しくさえない。エネルギーは創造も破壊もされない。（氷＋電気）を（温水）へ変換するとき、エネルギーの正味変化は0でなければならない。ならば、それを逆向きに行っても、エネルギー保存則それ自体には違反しないはずだが……
温水を電流と氷に変換する第二種永久機関は、熱力学第二法則によって禁じられる。
第二法則は本質的にベイズ的なので、少し理解しにくい。
そう、本当に。
熱力学第二法則の根底にある本質的な物理法則は、物理学の標準模型の内部で証明できる定理である。任意の閉鎖系が時間とともに発展するとき、位相空間の体積は保存される。
地面から高いところにボールを持っているとしよう。この状況は多次元空間の一点として記述でき、その次元の少なくとも一つは「地面からのボールの高さ」である。そこでボールを落とすとボールは動き、あなたとボールを含む系全体を記述する位相空間内の無次元の点も動く。物理学の用語で「位相空間」とは、粒子の位置だけでなく運動量のための次元もあるという意味である。たとえば2粒子の系には12次元があり、各粒子の位置に3次元、各粒子の運動量に3次元がある。
各次元が巨大な歯車集合の中の一つの歯車の位置を記述する多次元空間があるなら、歯車を回すにつれて、一つの点がかなり高次元の位相空間を急旋回し、飛び回ることになる。つまり、巨大で複雑な機械を超高次元空間の一点として見られるのと同じく、この機械の時間的な振る舞いを記述する物理法則も、その点が位相空間を通る軌跡を記述していると見なせる。
熱力学第二法則は、物理学の標準模型で証明可能な定理の帰結である。位相空間のある体積を取り、標準物理学を用いて時間を進めたなら、位相空間の総体積は保存される。
例として二つの系 X と Y があり、X には8通りの可能な状態、Y には4通りの可能な状態があり、結合系 (X,Y) には32通りの可能な状態があるとしよう。
結合系の時間発展は、初期の点を未来の点へ写す規則として記述できる。たとえば系は X7Y2 から始まり、（何らかの物理法則のもとで）1分後に状態 X3Y3 へ発展するかもしれない。つまり、X が状態 X7 から始まり、Y が状態 Y2 から始まって、1分間観察したなら、X は X3 へ、Y は Y3 へ移るのが見える。それが物理法則というものである。
次に、結合系の状態から部分空間 S を切り出そう。空間 S は、X が状態 X1 にあり、Y が状態 Y1 から Y4 までにあることで区切られた部分空間とする。したがって S の総体積は4状態である。
そして、(X, Y) を支配する物理法則のもとで、初めにS内にある状態が次のように振る舞うとしよう。
| X1Y1 | → | X2Y1 |
| X1Y2 | → | X4Y1 |
| X1Y3 | → | X6Y1 |
| X1Y4 | → | X8Y1 . |
要するに、これが冷蔵庫の働き方である。
X部分系は状態空間の狭い領域――実際にはただ一つの状態 X1――から始まり、Y は空間のより広い領域、状態 Y1 から Y4 にわたって分布していた。互いに相互作用することで、Y は狭い領域へ入り、X は広い領域に落ち着いた。しかし位相空間の総体積は保存された。四つの初期状態が四つの最終状態に写された。
物理学によって位相空間の総体積が時間を通じて保存されるかぎり、X が広がる以上に Y を圧縮することも、その逆もできないのは明らかである。ある部分系を状態空間のより狭い領域へ圧縮するたび、別の部分系が状態空間のより広い領域へ広がらなければならない。
今度は、私たちが不確実である結合系 (X,Y) について、その不確実性がS上の等確率分布で記述されるとしよう。つまり、X が状態 X1 にあることにはかなり確信があるが、Y は状態 Y1 から Y4 のどれにある可能性も等しい。1分間目を閉じてからまた開けば、Y は状態 Y1 にあると予想するが、X は状態 X2 から X8 のどれにでもありうる。実際には、X がありうる状態は一部に限られ、それらは X2 から X8 の範囲内にある。だが、それが正確にどの状態かを考え抜くのは費用がかかりすぎるので、単に X2 から X8 としておく。
シャノン・エントロピーを考えよう。対象は、個別の系である X と Y についての私たちの不確実性である。X は一つの確定状態にあったので0ビットのエントロピーから始まり、Y は4通りの可能な状態のどれにある可能性も等しかったので2ビットのエントロピーから始まった。（相互情報量は X と Y の間にない。）少しばかり物理過程が起きると、見よ、Y のエントロピーは0になったが、X のエントロピーは log2(7) = 2.8ビットになった。こうしてエントロピーは一方の系から他方へ移り、Y部分系の内部では減少した。しかし記帳の費用のため、一部の情報を追跡しなかったので、（私たちの視点からは）全体のエントロピーが増加した。
過去の状態を未来の状態へ次のように写す物理過程があったとしよう。
| X2Y1 | → | X2Y1 |
| X2Y2 | → | X2Y1 |
| X2Y3 | → | X2Y1 |
| X2Y4 | → | X2Y1 . |
そうすれば、どこから始めても同じ場所へ行き着くため、実際にエントロピーを減らす物理過程を持てる。時間とともに発展する物理法則が位相空間を圧縮することになる。
だが、私たちの物理法則について真だと証明できるリウヴィルの定理があり、そんなことは決して起きないと述べている。位相空間は保存される。
熱力学第二法則はリウヴィルの定理の系である。車輪と歯車の構成をどれほど巧妙にしても、どこか別の場所のエントロピーを増やさずに、一つの部分系のエントロピーを減らすことは決してできない。一つの部分系の位相空間が狭まれば、別の部分系の位相空間は広がらなければならず、結合空間の体積は同じまま保たれる。
ただし、初めはコンパクトだった位相空間が、曲がりくねり、うねり、畳み込まれることがある。そのため、混沌全体の周りに単純な境界を引くには、以前よりはるかに大きな境界を引かなければならない――これがエントロピー増加の外観を生む。（そして異なる宇宙が異なる道を進む量子系では、どの局所宇宙でもエントロピーは実際に増加する。ただし今は、この複雑さを省く。）
熱力学第二法則は実は確率的な性質を持つ――温水が自発的に「冷水と電気」の状態へ入る確率を問えば、その確率は存在する。ただ非常に小さいだけである。これは、リウヴィルの定理が小さな確率で破られるという意味ではない。何しろ定理は定理である。初めに巨大な位相空間体積の中にいるが、どこにいるか分からないなら、ある特定の位相空間体積に行き着く確率を、ごくわずかだと評価するかもしれないという意味だ。あなたの知るかぎりでは、この特定の一杯の温水は、無限小の確率で、自発的に電流と氷へ変わる種類の温水かもしれない。（いつものとおり、量子効果は無視する。）
したがって第二法則は本当に、本質的にベイズ的である。現実の熱力学系について、それは系についてのあなたの信念を厳密に法則的に述べるが、系そのものについては確率的なことしか述べない。
「待ってくれ」とあなたは言う。「物理の授業で習ったのと違う」と言う。「私が聞いた講義では、熱力学は、ほら、温度についての学問だった。不確実性は主観的な心の状態だ！ 一杯の水の温度は水の客観的な性質だ！ 熱と確率に何の関係がある？」
ああ、信頼の薄い者よ。
一方の向きでは、熱と確率のつながりは比較的分かりやすい。一杯の水について知っている唯一の事実が温度なら、冷たい水より熱い水について、はるかに大きな不確実性を持つ。
熱とは、多数の小さな分子が飛び回ることである。熱いほど、速く動きうる。熱水の分子がすべて同じ速さで移動しているわけではない。「温度」は全分子の一様な速さではなく、分子の平均的な速さであり、それがさらに、予測可能な速さの統計分布に対応する――ともかく要点は、水が熱いほど水分子はより速く動きうるため、個々の分子の速度（速さだけではなく向きを持つ速度）についての不確実性が大きくなるということだ。個々の分子すべてについての不確実性を掛け合わせると、一杯の水全体について指数関数的に不確実になる。
この指数関数的な不確実性の体積の対数を取り、それをエントロピーと呼ぶ。ほら、これですべてうまくいく。
逆方向のつながりはそれほど明白でない。一杯の水があり、初めはその温度が72度だということだけを知っていたとしよう。そこへ突然、聖ラプラスが、水中の全原子の正確な位置と速度を明かしてくれる。今や水の状態を完全に知っているので、情報理論上のエントロピーの定義により、そのエントロピーはゼロである。すると熱力学的エントロピーもゼロになるのだろうか？ 私たちがより多くを知ったから、水は冷たくなるのか？
ひとまず量子性を無視すれば、答えは、そうだ！ 本当にそうなる！
かつてマクスウェルは問うた。一様に熱い気体を二つの体積 A と B に分け、速く動く分子だけを B から A へ通し、遅く動く分子だけを A から B へ通すことが、なぜできないのか？ このような門を作れれば、間もなく A 側には熱い気体、B 側には冷たい気体ができる。食品を冷蔵する安価な方法になるではないか？
気体分子を一つずつ調べ、通すかどうかを決めるエージェントは「マクスウェルの悪魔」として知られる。この方法で効率的な冷蔵庫を作れないのは、マクスウェルの悪魔が気体分子を調べ、どれを通すか決める過程でエントロピーを生み出すためである。
だが、気体分子がすべてどこにあるかを、すでに知っていたとしたら？
その場合は、実際にマクスウェルの悪魔を動かして有用な仕事を取り出すことができる。
したがって（ここでもひとまず量子効果を無視すれば）、一杯の熱水に含まれる全分子の状態を知っているなら、それは本物の熱力学的な意味で冷たい。そこから電気を取り出し、後に氷を残すことができる。
これはリウヴィルの定理に違反しない。Y が水で、あなたがマクスウェルの悪魔（M と表す）なら、物理過程は次のように振る舞うからである。
| M1Y1 | → | M1Y1 |
| M2Y2 | → | M2Y1 |
| M3Y3 | → | M3Y1 |
| M4Y4 | → | M4Y1 . |
マクスウェルの悪魔は Y の正確な状態を知っているため、これは M と Y の間の相互情報量である。相互情報量は結合エントロピー (M,Y) を減らす。すなわち H(M,Y) = H(M) + H(Y) − I(M;Y) である。悪魔 M は2ビットのエントロピー、Y は2ビットのエントロピーを持ち、その相互情報量は2ビットなので、(M,Y) は合計2 + 2 − 2 = 2ビットのエントロピーを持つ。物理過程は、相互情報量の「冷たさ」（負のエントロピー、すなわちネゲントロピー）を変換して、実際の水を冷たくするだけである――その後、Mは2ビット、Y は0ビットのエントロピーを持ち、相互情報量は0になる。何も問題はない！
そして知識が「主観的」だなどと言わないでほしい。知識は脳内に表現されなければならず、それによってほかの何物とも同じく物理的になる。Mが Y の状態の正確な像を物理的に表現するには、Mの物理状態が Y の状態と相関していなければならない。それを熱力学的に利用できる――シラード・エンジンと呼ばれるものだ。
あるいはE・T・ジェインズの言葉では、「『知識は力なり』という古い格言は、人間関係においても熱力学においても、非常に説得力のある真実である。」
そして逆に、ある部分系は、(a) 別の部分系と相互作用し、(b) 熱力学的な仕事をしなければ、その部分系との相互情報量を増やせない。
そうでなければ、マクスウェルの悪魔を作って熱力学第二法則を破ることができ、それによってリウヴィルの定理も破ることになる――これは物理学の標準模型では禁じられている。
つまり、何かについて正確な信念を形成するには、本当にそれを観察しなければならない。これはきわめて物理的で、きわめて現実的な過程である。合理的な心はどれも、精神的努力という意味だけでなく、熱力学的な意味でも「仕事」をする。
（次の観察に備えるためビットを消去することが熱力学的な仕事を要する、と言われることがある――だがその区別は言葉と視点の問題にすぎず、数学は曖昧ではない。）
（論理的な「真理」の発見は複雑な問題であり、今は考慮しない――少なくとも一部には、私自身が厳密な形式化をまだ考えている最中だからである。熱力学では、論理的真理の知識はネゲントロピーに数えられない。可逆コンピューターが任意に低い費用で論理的真理を計算できることから予想されるとおりである。ここで私が述べたすべては、論理的に全知なものについて真である。それより劣る心は必然的に効率も劣る。）
「正確な信念の形成には、それに対応する量の証拠が必要である」は、人間関係においても熱力学においても、非常に説得力のある真実である。もし盲信が調査方法として本当に働くなら、温水を電気と氷へ変えられる。分子速度を盲信するマクスウェルの悪魔を作ればよい。
認知機関は、ガソリンを燃やすより巧妙な形でエントロピーを操作するとはいえ、熱機関とそれほど違わない。たとえば認知機関が完全に効率的でない範囲では、自動車エンジンや冷蔵庫と同じく、廃熱を放出しなければならない。
「冷たい合理性」は、ハリウッドの脚本家が夢にも思わなかった意味では真である（そして彼らが夢見た意味では偽である）。
だから、目に見えないものについて真の知識を与えることで、あなたの議論のどの具体的な段階が物理法則に違反するのかを言えないかぎり、巨大で精緻な巧妙な議論ならそれができると私が信じるとは期待しないでほしい。